【高中數學】圓外一點到圓的切線求法.

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題目:求圓外一點P(4,3)到圓: (x-2)^2+y^2=4的切線方程式

小人作圖看出一條切線x=4    另一條用tan的倍角公式求出斜率=5/12
  
計算相當簡單    但是需要三角函數的預備知識

理論上設y=mx+3-4m代回圓方程式    會使得判別式=0  從而求出m

看來計算繁雜    實在沒有勇氣......

請問高手有無其他簡易作法?

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不用三角函數的話，用向量好了
假設圓心到切點 的向量是 (a,b)
切點則是 ( 2+a , b )
切點到(4,3) 的向量是 ( 2-a , 3-b )
從圓的角度來看 1. 切點在圓上 .2 圓心到切點的向量(a,b) 和 切點到(4,3)的向量 垂直
a² + b² = 4
a(2-a) + b(3-b) = 0 ← 垂直內積 = 0

a(2-a) + b(3-b) = 0
a² + b² =  2a + 3b = 4
2a = 4 - 3b
4a² = (4-3b)² = 16 - 4b²
9b² - 24b + 16 = 16 - 4b²
13b² -24b = 0
b = 0 or 24/13
2a = 4 - 3b
(a,b) = (2,0) or (-10/13 , 24/13)
(a,b) 斜率
0 or -12/5
切線斜率
∞ or 5/12
切線方程式
x= 4
y = 5(x-4)/12 +3

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如果已經知道一個解在 切點(4,0)
假設圓心到切點 的向量是 (a,b)
切點則是 ( 2+a , b )
切點到(4,3) 的向量是 ( 2-a , 3-b )
圓心到切點的向量是 (2,3)
已知那點的圓心到切點就是 (2,0)，切點到(4,3)就是(0,3)
2( 2-a) + 3(3-b) = 9 ← 用已知那點去得到 (0,3)．(2,3) = 9
2a+3b = 4
再代入a² + b² = 4  ... 後面一樣
好像也只省一點，不過，其實這計算不難算 ....

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剛想到有個有趣的解法
圓心(2,0) 到 (4,3)
線方程式 y = 3(x-2)/2
一個切點在 (4,0)
現在找切點對稱過去的另一點 (線當鏡子)
用平行線的角度來看，切點的平行線在  y = 3(x-2)/2 - 3
對稱過去的切點，平衡線就是 y = 3(x-2)/2 + 3 → y = 3x/2
另外垂直的那條 y = -2(x-4)/3

y = 3x/2
y = -2(x-4)/3
解聯立， 9x = -4x+16
x = 16/13 , y = 24/13 ← 另一切點
線斜率 = (3 - 24/13)/(4 - 16/13) = 5/12

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謝謝冰語的發表

如此也可以利用參數式與向量求出(4,0)在線段OP的投影點D(2+2t,3t)

則(2,3)(2t-2,3t)=0    t=4/13

由(4,0)-(34/13,12/13)-另一切點   可求出其座標(16/13,24/13)

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後來發覺y=mx+3-4m也不難做

只是後來要配合點到直線距離=r

y=mx+3-4m化成mx-y+3-4m=0

與圓心(2,0)的距離|2*m-0*(-1)+3-4m|/根號(m^2+1^2)=2

9-12m+4m^2=4m^2+4

m=5/12

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謝謝冰語的發表

如此也可以利用參數式與向量求出(4,0)在線段OP的投影點D(2+2t,3t)

則(2,3)(2t-2,3t)=0    t=4/13

由(4,0)-(34/13,12/13)-另一切點   可求出其座標(16/13,24/13) ...
26867711 發表於 2012-10-7 06:59

嗯，作法很多
向量式 + 內積是一種，解兩線交點也是一種
方向對了就好解
我是直接平行過去解對稱點，先解投影點再等差過去也可以

39475494

後來發覺y=mx+3-4m也不難做
只是後來要配合點到直線距離=r
y=mx+3-4m化成mx-y+3-4m=0
與圓心(2,0)的距離|2*m-0*(-1)+3-4m|/根號(m^2+1^2)=2
9-12m+4m^2=4m^2+4
m=5/12 ...
26867711 發表於 2012-10-7 07:08

其實，點到線的最短距離公式，就是這樣得來的

線方程式 ax + by + c =0
線外一點 p(m , n)，投影向量(at , bt)，投影點 q(m+at , n+bt)
a(m+at) + b(n+bt) + c = 0 ← 投影點在線上
am + bn + c + a²t + b²t = 0
最短² = (at)²+(bt)² = (a² + b²)t² = (a² + b²)(am+bn+c)²/(a²+b²)²
= (am+bn+c)²/(a²+b²)
最短 = |am+bn+c| / √(a²+b²)

有沒有覺得這兩個解題流程超像 (最短公式 和 切線這題) ?

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我解釋一下好了
我上面的解法
假設圓心到切點 的向量是 (a,b) ← 這就是圓心投影到切線的投影向量
切點則是 ( 2+a , b ) ← 投影點
切點到(4,3) 的向量是 ( 2-a , 3-b )
從圓的角度來看 1. 切點在圓上 .2 圓心到切點的向量(a,b) 和 切點到(4,3)的向量 垂直
a² + b² = 4 ← 投影點在圓上 (這距離 = 2)
a(2-a) + b(3-b) = 0 ← 垂直內積 = 0 ←這距離是最短距離(投影點真的是投影點) 繞口令?

因為線方程式是未知，所以是反過來的過程，其實就是寫一遍公式的逆向証明
不過直接用公式也許在想法上比較輕鬆
(因為這公式是可逆向的)