[【學科】] 【數學】高二數學-空間向量

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如圖，線段AB=線段BC=4，線段CD=3，線段AD=√37，今沿線段AC折起，使平面ABC與平面ACD互相垂直，求此時線段BD長=___

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2016-1-14 19:34

A:√31


求過程  感恩

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37 = 16+49-56cosθ
cosθ = 1/2
θ = 60° = ∠ABC
等腰+60° → 正三角形
∠ACB = 60°
先座標化，B當原點，BC 為 x 軸，這個平面為xy平面，折起來後 z 軸有高度
C(4,0,0) D(7,0,0)
設沿AC折上來90°之後 D點移到D'
D' 對平面的投影點為 E
CE = 3/2
CD' = CD = 3√3/2
E點座標 = (3/2/2, -3√3/2/2, 0) = (3/4, -3√3/4, 0)
D'座標 (4 + 3/4, -3√3/4, 3√3/2)
AD' = √(361+27+108) / 4 = √31

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有個算法比較快
但圖是立體的，懶得畫
一樣先解角度，然後座標化
E點的x座標 = 3 * cos60° * cos60° = 3/4
AD'² = 3² - (3/4)² + (4+3/4)² = 31
AD' = √31
(其實一樣，只是計算簡化了一點)

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我的解法 比較土法煉鋼
過A點做垂線交於E點 以E點為原點
B點座標為(0,-2,0) D點折起來後投影在平面為D'
∠ACB = 60° 三角形ABC為正三角形
D點的Z座標為3Sin60=3√3/2 Y座標為(3Cos60+4)/2=11/4
X座標 為CDD'所形成三角形的高 (算直角三角形斜邊上的高)
所以為(3/2*3√3/2)/3=3√3/4
D點座標(3√3/4,11/4 ,3√3/2)
BD=(27/16+361/16+108/16)^0.5=√31

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還有一個方式
把 B 折上來也很好算
B' 的投影會在 AC 的中點
B' 座標為 (3, √3, 2√3)
D 座標(7,0,0)
B'D = √[ (4²+(√3)²+(2√3)² ]
= √ (16+3+12)
=√31